İçindekiler
R dili, istatistiksel modelleme dünyasında hem akademisyenlerin hem de veri analistlerinin vazgeçilmez araçlarından biridir. Bunun sebebi yalnızca zengin paket ekosistemi değildir: R, veri temizlemeden görselleştirmeye, regresyondan hipotez testlerine kadar analiz sürecini okunabilir kodlarla kurmayı sağlar. Bu yazıda yerleşik mtcars veri setini kullanarak doğrusal regresyon kuracak, model sonuçlarını yorumlayacak ve iki grubun ortalamasını t testiyle karşılaştıracağız.
``
Modelleme mantığı: Soruyu denkleme dönüştürmek
İstatistiksel modelleme, verideki rastlantısal dalgalanmayı tamamen yok etmeye çalışmaz. Bunun yerine değişkenler arasındaki sistematik ilişkiyi tahmin eder. Örneğin bir otomobilin yakıt tüketimi (mpg) ile ağırlığı (wt) arasında çoğunlukla ters yönlü bir ilişki bekleriz.
Basit doğrusal regresyon denklemi şöyledir:
\[y_i = \beta_0 + \beta_1x_i + \varepsilon_i\]Burada $y_i$ yakıt tüketimini, $x_i$ ağırlığı, $\beta_0$ sabit terimi, $\beta_1$ ağırlığın etkisini ve $\varepsilon_i$ ise modelin açıklayamadığı hata payını temsil eder. Amaç, gözlemlere en iyi uyan doğruyu bulmaktır. R bunu en küçük kareler yöntemiyle yapar; yani hata kareleri toplamını minimize eder:
\[\min \sum_{i=1}^{n}(y_i - \hat{y}_i)^2\]Regresyon ve hipotez testi: Aynı laboratuvarın farklı araçları
| Yaklaşım | Temel soru | Tipik çıktı | Ne zaman kullanılır? |
|---|---|---|---|
| Doğrusal regresyon | Bir değişken diğerini ne kadar etkiliyor? | Katsayı, $R^2$, p-değeri | Sayısal sonuç tahmini ve ilişki analizi |
| t testi | İki grubun ortalaması farklı mı? | t istatistiği, güven aralığı, p-değeri | İki bağımsız grubun karşılaştırılması |
| ANOVA | Üç veya daha fazla ortalama farklı mı? | F istatistiği, p-değeri | Birden çok grubun karşılaştırılması |
Önce veri setini inceleyelim. mtcars, 1970’li yıllardaki otomobillerin motor ve performans özelliklerini içerir. wt değişkeni ağırlığı, mpg ise galon başına mil değerini gösterir.
# Yerleşik veri setinin ilk satırlarını incele
head(mtcars)
# Temel özet istatistikler
summary(mtcars[, c("mpg", "wt", "hp", "am")])
# mpg ile wt ilişkisini görselleştir
plot(mtcars$wt, mtcars$mpg,
pch = 19, col = "steelblue",
xlab = "Ağırlık (1000 lb)",
ylab = "Yakıt Tüketimi (mpg)")
Grafikte noktaların aşağı yönlü eğilim göstermesi, ağır araçların daha düşük mpg değerine sahip olabileceğine dair ilk ipucudur. Ancak görsel sezgi tek başına yeterli değildir; bu ilişkiyi modelle ölçmeliyiz.
R ile doğrusal regresyon kurmak
R’de lm() fonksiyonu doğrusal model oluşturur. Aşağıdaki model, yakıt tüketimini ağırlık üzerinden tahmin eder.
# mpg ~ wt: mpg bağımlı, wt bağımsız değişkendir
model <- lm(mpg ~ wt, data = mtcars)
# Katsayılar, p-değerleri ve R-kareyi görüntüle
summary(model)
# Tahmin doğrusunu grafiğe ekle
abline(model, col = "firebrick", lwd = 2)
# Yeni bir araç için tahmin üret
predict(model, newdata = data.frame(wt = 3.0), interval = "prediction")
summary(model) çıktısındaki wt katsayısı negatifse, ağırlık arttıkça beklenen yakıt verimliliğinin düştüğünü söyleriz. Katsayı örneğin $-5.34$ ise, ağırlıktaki her bir birimlik artış için mpg değerinin ortalama 5.34 azalması beklenir. Katsayının p-değeri genellikle şu sıfır hipotezini sınar:
$p < 0.05$ sonucu, seçilen anlamlılık düzeyinde ağırlık ile yakıt tüketimi arasında istatistiksel olarak anlamlı bir ilişki bulunduğuna işaret eder. Yine de p-değeri etkinin büyüklüğü değildir; $R^2$ değerine ve güven aralıklarına da bakmak gerekir.
Şanzıman türleri arasında t testi
Şimdi otomatik (am = 0) ve manuel (am = 1) araçların ortalama mpg değerleri farklı mı sorusunu soralım. Önce anlaşılır etiketler oluşturalım, ardından Welch t testini çalıştıralım.
# Grup etiketlerini faktöre dönüştür
mtcars$transmission <- factor(mtcars$am,
levels = c(0, 1),
labels = c("Otomatik", "Manuel"))
# Grup ortalamalarını incele
aggregate(mpg ~ transmission, data = mtcars, FUN = mean)
# İki grubun ortalamasını karşılaştır
sonuc_t <- t.test(mpg ~ transmission, data = mtcars)
sonuc_t
Bu testte hipotezler $H_0: \mu_{otomatik}=\mu_{manuel}$ ve $H_1: \mu_{otomatik}\ne\mu_{manuel}$ biçimindedir. Çıktıdaki güven aralığı sıfırı içermiyor ve p-değeri 0.05’ten küçükse, ortalamalar arasında anlamlı fark vardır. Ancak önemli bir uyarı: Manuel araçlar aynı zamanda daha hafif olabilir. Bu nedenle farkın yalnızca şanzımandan kaynaklandığını söylemek için mpg ~ am + wt gibi çoklu regresyon modelleri kurmak gerekir. İstatistikte en iyi model, en gösterişli çıktıyı değil, soruyu ve olası karıştırıcı değişkenleri en doğru temsil eden modeldir.
Yorumlar