Roma Rakamlarıyla Aritmetik: Konumsuz Sayılar Nasıl Toplanır ve Çarpılır?

Roma rakamları denince çoğumuzun aklına saat kadranları, tarihî yapılar ve film jeneriklerindeki gizemli tarihler gelir. Oysa I, V, X, L, C, D ve M sembolleriyle aritmetik yapmak da mümkündür. Üstelik bunun için sayıları mutlaka onluk sisteme çevirmek gerekmez. Biraz sembol birleştirme, biraz sadeleştirme ve bolca düzenleme yeterlidir.

``

Pozisyonel Olmamak Ne Demektir?

Onluk sistem pozisyoneldir: 325 sayısındaki 3, yüzler basamağında olduğu için $3 \times 100$ değerindedir. Roma sisteminde ise sembollerin temel değerleri konumlarından bağımsızdır.

Bir Roma dizisinin değeri, çıkarma gösterimi yok sayıldığında sembol değerlerinin toplamıdır:

Örneğin VIII, $5+1+1+1=8$ eder. Ancak IV gibi çıkarımlı yazımlarda küçük sembol büyük sembolden önce gelirse çıkarılır: $5-1=4$. Aritmetik algoritmalarında bu istisnayı azaltmak için önce genişletilmiş toplamsal biçim kullanmak oldukça pratiktir. Böylece IV, geçici olarak IIII; IX ise VIIII biçiminde düşünülebilir.

Roma Rakamlarıyla Toplama

XXVII + XVIII işlemini ele alalım. Önce sembolleri toplamsal biçimde yan yana getiririz:

XXVII + XVIII
= XXVIIXVIII
= XXXVVIIII

Ardından aynı sembolleri gruplayıp dönüşüm kurallarını uygularız:

• IIIII → V
• VV → X
• XXXXX → L
• LL → C
• CCCCC → D
• DD → M

XXXVVIIII ifadesinde iki V, bir X olur. Sonuç XXXXV, yani standart yazımla XLV olur. Gerçekten de $27+18=45$.

Bu yaklaşım, elde taşımalı toplamanın Roma usulü kuzenidir. Tek fark, basamaklar yerine sembol paketleri taşınmasıdır.

Çarpma: Tekrarlı Toplamadan Dağıtmaya

En basit yöntem, çarpılan sayıyı tekrar tekrar toplamaktır. Örneğin XII × III, üç tane XII sembol grubunun birleşimidir:

Altı I, VI olarak sadeleşir ve sonuç XXXVI olur. Yani $12 \times 3=36$.

Büyük sayılarda tekrarlı toplama verimsizdir. Bunun yerine çarpanı Roma sembollerinin değerlerine ayırabiliriz. XIV × VI işlemi, dağılım özelliğiyle şöyle ele alınır:

Roma mantığında bu, XIV sayısının beş katı ile bir kopyasını birleştirmek demektir. Sonuç $70+14=84$, yani LXXXIV olur.

Python ile Sembol Tabanlı Toplama

Aşağıdaki kod, çıkarımlı biçimi önce toplamsal biçime genişletir; sembolleri sayar ve ardından değeri standart Roma gösterimine dönüştürür:

values = {
    "I": 1, "V": 5, "X": 10, "L": 50,
    "C": 100, "D": 500, "M": 1000
}

expansions = {
    "IV": "IIII", "IX": "VIIII",
    "XL": "XXXX", "XC": "LXXXX",
    "CD": "CCCC", "CM": "DCCCC"
}

def expand(roman):
    for short, long_form in expansions.items():
        roman = roman.replace(short, long_form)
    return roman

def roman_add(a, b):
    pool = expand(a) + expand(b)
    total = sum(values[symbol] for symbol in pool)
    return to_roman(total)

def to_roman(number):
    table = [
        (1000, "M"), (900, "CM"), (500, "D"), (400, "CD"),
        (100, "C"), (90, "XC"), (50, "L"), (40, "XL"),
        (10, "X"), (9, "IX"), (5, "V"), (4, "IV"), (1, "I")
    ]
    result = ""
    for value, symbol in table:
        count, number = divmod(number, value)
        result += symbol * count
    return result

print(roman_add("XXVII", "XVIII"))  # XLV

Roma aritmetiği, bilgisayarların kullandığı modern sayı sistemleri kadar verimli değildir; sıfır ve basamak değeri bulunmaması işleri zorlaştırır. Yine de bu algoritmalar önemli bir fikri gösterir: Aritmetik, yalnızca rakamların biçimine değil, temsil kurallarına dayanır. Kuralları doğru tanımladığınızda, antik bir saat kadranı bile küçük bir hesap makinesine dönüşebilir.